正交矩阵是线性代数中一类特殊的方阵，它具有一组独特的性质，即其行向量和列向量都是标准正交基。本文将探讨正交矩阵与其逆矩阵特征值之间的关系。 首先，一个正交矩阵Q定义为满足Q^TQ=QQ^T=I的方阵，其中Q^T表示Q的转置，I是单位矩阵。由于正交矩阵的行向量和列向量都是标准正交基，我们可以得知正交矩阵的行列式只能取+1或-1，这意味着正交矩阵是可逆的，并且其逆矩阵Q^(-1)与Q本身相等，即Q^(-1)=Q^T。 对于正交矩阵的特征值问题，我们有Qv=λv，其中v是非零特征向量，λ是特征值。由于Q是正交的，我们可以推出Q^TQv=λv，即v=λv，因为Q^TQ=I。这表明特征值λ的模长必须是1，即|λ|=1。 进一步地，我们考虑正交矩阵的逆矩阵Q^(-1)的特征值。由于Q^(-1)=Q^T，我们可以将特征值问题写作Q^Tv=λv。这与原矩阵Q的特征值问题是等价的，因为它们共享相同的特征值。换句话说，正交矩阵与其逆矩阵的特征值完全相同，这是因为转置操作并不改变特征值。 总结来说，正交矩阵的逆矩阵与其本身具有相同的特征值，且这些特征值的模长都是1。这一性质不仅在理论研究中具有重要意义，而且在实际应用中，如在量子力学和图像处理等领域，正交矩阵及其逆矩阵的特征值分析也扮演着关键角色。