函数求导是高等数学中的基础技能，对于理工科学生尤为重要。本文将通过几个例题，详细解析常见函数的求导方法。 总结来说，函数求导的基本规则包括：常数倍法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则、商法则以及链式法则。以下将通过具体的例题来展示这些规则的运用。 例题1：求函数f(x) = 3x²的导数。 根据幂函数法则，对于f(x) = axⁿ，其导数为f'(x) = naxⁿ⁻¹。因此，f'(x) = 2 * 3x = 6x。 例题2：求函数g(x) = 4x + 5的导数。 根据和差法则，对于g(x) = f(x) + g(x)，其导数为g'(x) = f'(x) + g'(x)。由于常数项的导数为0，所以g'(x) = 4。 例题3：求函数h(x) = x(x + 1)的导数。 这个函数可以看作是乘积形式，根据乘积法则，h(x) = u(x)v(x)，其导数为h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。将h(x)拆分为u(x) = x和v(x) = x + 1，得到h'(x) = 1 * (x + 1) + x * 1 = 2x + 1。 例题4：求函数r(x) = 1/x的导数。 这是一个商函数，根据商法则，对于r(x) = f(x)/g(x)，其导数为r'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]²。对于r(x) = 1/x，有f(x) = 1和g(x) = x，因此r'(x) = -1/x²。 最后，例题5：求函数s(x) = (x² + 1)³的导数。 这是一个复合函数，需要使用链式法则。首先找到内部函数t(x) = x² + 1，然后求外部函数u(t) = t³的导数。t'(x) = 2x，u'(t) = 3t²。应用链式法则，s'(x) = u'(t) * t'(x) = 3t² * 2x = 6x(x² + 1)²。 通过以上例题，我们可以看到不同类型函数的求导方法。掌握这些基本规则，对于解决更复杂的导数问题至关重要。