在微观经济学中，效用函数是用来描述消费者在消费不同商品组合时所获得满足程度或效用的数学函数。而支出函数则表示消费者在获得一定效用水平下，对不同商品组合的消费支出。本文将详细阐述如何从效用函数推导出支出函数。 首先，我们需要理解的是，效用函数通常假设消费者是理性的，追求效用最大化。在预算约束条件下，消费者会通过选择不同的商品组合来达到这一目标。支出函数则是基于这一效用最大化行为，计算出相应的支出水平。 在具体推导过程中，我们假设消费者的效用函数为U(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn分别表示n种商品的消费量。预算约束可以表示为p1x1 + p2x2 + ... + pnxn = M，这里p1, p2, ..., pn是商品的价格，M是消费者的收入。 从效用函数到支出函数的转换通常涉及以下步骤：

1. 效用最大化：在给定的预算约束下，消费者通过选择商品组合来最大化效用函数。这通常通过拉格朗日乘数法或微分求极值来完成。
2. 求解商品需求函数：在效用最大化的条件下，我们可以解出每种商品的需求函数，即消费者对每种商品的需求量如何随价格变化而变化。
3. 计算支出函数：将需求函数代入预算约束中，解出支出函数。支出函数可以表示为M = p1x1^* + p2x2^* + ... + pnxn^，其中x1^, x2^*, ..., xn^*是在效用最大化条件下每种商品的需求量。 总结来说，从效用函数求支出函数的过程，本质上是找出消费者在追求效用最大化的同时，如何分配其收入以购买不同商品的过程。这一过程不仅揭示了消费者的消费选择，也为分析市场价格变化对消费者行为的影响提供了理论基础。 在应用上，支出函数对于政策制定者、市场分析师以及消费者本身都有重要意义。它可以帮助预测价格变动对消费者支出的影响，进而为经济决策提供参考。