在数学分析中，中值定理是一组重要的工具，它们用于估计函数在区间内的行为。这些定理在工程、物理、经济学等多个领域都有广泛的应用。本文将探讨中值定理的基本概念，并通过实例展示如何应用中值定理，最后将结果以JSON格式输出。

中值定理的核心思想是：在一个闭区间上连续的函数，其值域也会有一定的连续性。最著名的几个中值定理包括罗尔(Rolle's)定理、拉格朗日(Lagrange's)定理和柯西(Cauchy's)定理。

罗尔定理告诉我们，如果函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，并且在端点处的函数值相等，即f(a) = f(b)，那么至少存在一个点c属于开区间(a, b)，使得f'(c) = 0。

拉格朗日中值定理则更为一般，它指出，如果函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么至少存在一个点c属于开区间(a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。这个定理可以用来估计函数在区间内的变化率。

以一个简单的例子来说明拉格朗日中值定理的应用。假设有一个函数f(x) = x^2，在区间[1, 3]上应用拉格朗日中值定理，我们可以得到：f'(c) = (f(3) - f(1)) / (3 - 1) = (9 - 1) / 2 = 4。这意味着在区间(1, 3)内，至少存在一个点c，其瞬时变化率等于4。

对于JSON格式的输出，我们可以将中值定理的结果以结构化的形式表示出来。以下是上述例子的JSON格式输出：

{
  "function": "f(x) = x^2",
  "interval": "[1, 3]",
  "mean_value_theorem": "Lagrange's",
  "derivative_at_c": 4
}

通过这样的方式，我们可以方便地将数学函数的中值模型结果以数字化和结构化的形式进行存储和传输，便于后续的数据处理和分析。

综上所述，中值定理不仅为我们提供了理解函数局部性质的工具，而且还可以通过JSON格式输出，为函数分析提供了一种高效的数字化表达方式。