在数学分析中，函数的和的导数是一个重要的概念。本文旨在阐述如何证明两个函数和的导数等于各自导数的和。这一性质在微积分学中有着广泛的应用。

首先，我们来总结一下这个性质。设有两个可导函数f(x)和g(x)，那么它们的和函数h(x) = f(x) + g(x)在x点的导数，即h'(x)，满足以下关系：h'(x) = f'(x) + g'(x)。

下面，我们来详细描述这个性质的证明过程。根据导数的定义，函数在某点的导数是函数在该点的切线斜率。对于和函数h(x)，其导数h'(x)可以通过以下步骤证明：

1. 使用导数的定义，计算h(x)在x点的导数：h'(x) = lim(Δx→0) [(h(x+Δx) - h(x)) / Δx]。
2. 将h(x) = f(x) + g(x)代入上式，得到：h'(x) = lim(Δx→0) [(f(x+Δx) + g(x+Δx) - f(x) - g(x)) / Δx]。
3. 将和拆分为两部分，即：h'(x) = lim(Δx→0) [(f(x+Δx) - f(x)) / Δx] + lim(Δx→0) [(g(x+Δx) - g(x)) / Δx]。
4. 注意到这两个极限形式正是f(x)和g(x)的导数定义，即f'(x)和g'(x)。
5. 因此，我们可以得出结论：h'(x) = f'(x) + g'(x)，证明了和的导数等于各自导数的和。

最后，总结一下，我们通过导数的定义和简单的代数变换，证明了两个可导函数和的导数等于它们各自导数的和。这一性质不仅在理论上有着重要的意义，而且在实际问题中，如求解微分方程、优化问题等方面，都有着广泛的应用。