在数学分析中，证明一个多元函数f(x,y)的连续性是函数理论研究的重要部分。本文将总结证明连续函数f(x,y)的一般方法，并详细描述其步骤。 总结来说，要证明一个多元函数f(x,y)在点P(x_0,y_0)处连续，需要验证当(x,y)趋近于P点时，f(x,y)的极限值等于f(x_0,y_0)。以下是具体的证明步骤：

1. 确定函数f(x,y)及其定义域。首先，需要明确f(x,y)在定义域内的性质，包括是否存在奇点或不可达点。
2. 定义点P(x_0,y_0)。指出需要证明连续性的点，这是后续分析的基础。
3. 构造极限。对于点P(x_0,y_0)，构造f(x,y)的极限，即lim_((x,y)→(x_0,y_0)) f(x,y)。这一步是证明的关键，需要利用函数的性质和极限的定义。
4. 利用极限性质。根据多元函数极限的收敛定理，如果能够证明对于任意ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-x_0|+|y-y_0|<δ时，都有|f(x,y)-f(x_0,y_0)|<ε，则f(x,y)在点P连续。
5. 详细证明。利用函数的局部性质，如局部有界性和连续性，通过直接计算或利用已知的连续性定理来证明上述条件。 最后，总结上述步骤，我们可以得出结论：通过严谨的数学推理和证明，可以验证多元函数f(x,y)在特定点P(x_0,y_0)处的连续性。 需要注意的是，连续性证明不仅仅局限于点连续性，还可以推广到定义域内的任意连续性。这要求证明者具备深厚的数学基础和逻辑思维能力。