在数学中，齐次线性方程组是一类特殊的线性方程组，其特点是在方程的右侧均为零。那么，为什么齐次线性方程组会有解，而且当其系数矩阵的秩小于方程组中变量的个数n时呢？
首先，我们需要理解齐次线性方程组的基本概念。齐次线性方程组可以表示为Ax=0，其中A是系数矩阵，x是未知数向量。当且仅当系数矩阵A的秩小于变量个数n时，该齐次线性方程组才具有非唯一解，即无穷多解。
从直观上来看，当A的秩小于n时，意味着A中的行（或列）存在线性相关性，即至少有一行（或列）可以由其他行（或列）的线性组合表示出来。这种线性相关性导致了方程组的自由度增加，使得我们可以找到不止一个解。
详细地，我们可以从以下几个方面来阐述这个现象：
- 秩的定义：矩阵的秩是指其线性无关的行（或列）的最大数目。当A的秩小于n时，表明A中至少有一个n维线性空间没有被方程组的行空间所填满。
- 基础解系：对于齐次线性方程组Ax=0，存在一个基础解系，它包含着所有解的线性组合。基础解系的维数等于n-r，其中r是A的秩。这个维数即为方程组的自由度。
- 无穷多解：由于基础解系的维数大于0，我们可以构造无穷多个线性无关的解向量，它们都是基础解系的线性组合。
总结来说，齐次线性方程组Ax=0在系数矩阵A的秩小于变量个数n时，存在无穷多个解。这是因为矩阵的秩不足n导致了线性空间的自由度，使得我们可以通过不同的线性组合得到不同的解向量。
这一数学性质不仅在理论研究中具有重要意义，而且在实际应用中，如物理学、工程学、经济学等领域，对于处理线性系统具有深远的影响。