在数学分析中，反三角函数是一类重要的函数。特别地，arctanx，即反正切函数，是其中一个常用的反三角函数。本文将探讨什么样的函数原函数会是arctanx。 首先，我们需要明确原函数的概念。在微积分中，一个函数F(x)是另一个函数f(x)的原函数，如果F'(x) = f(x)，即F(x)的导数等于f(x)。对于arctanx来说，我们需要找到一个函数，使得它的导数等于arctanx。 经过数学推导，我们可以得出结论：arctanx的原函数是ln(1+x^2)/2。这个结论可以通过分部积分法或查阅积分表得到。下面，我们详细描述这一结论的推导过程。 推导过程从积分的基本公式出发。我们知道，(1+x^2)^(-1)的积分是arctanx。为了找到arctanx的原函数，我们可以尝试对(1+x^2)^(-1)进行积分后再乘以x，然后利用分部积分法来简化积分表达式。 设F(x)为arctanx的原函数，我们有： ∫(1+x^2)^(-1)dx = arctanx + C 对上式两边同时乘以x，得到： xarctanx = ∫x(1+x^2)^(-1)dx 现在，我们使用分部积分法，设u = arctanx，dv = x(1+x^2)^(-1)dx，那么du = (1+x^2)^(-1)dx，v的积分可以通过查表得到。 进行分部积分后，我们得到： xarctanx - ∫ln(1+x^2)/2 dx = ∫x(1+x^2)^(-1)dx 由此，我们可以看出∫ln(1+x^2)/2 dx是xarctanx的一个原函数减去的一项积分，因此，我们可以得出： arctanx的原函数是ln(1+x^2)/2。 最后，我们总结一下：arctanx的原函数是ln(1+x^2)/2，这一结论在数学分析和工程计算中有着广泛的应用。