在数学分析中，函数的有界性是一个重要的概念，它描述了一个函数在一定区间内，其函数值的范围是有限的。简单来说，如果对于某个区间内的所有点，函数的值都落在某个确定的实数范围内，我们就可以说这个函数在该区间内有界。 具体地，设函数f(x)在区间I上有定义。如果存在实数M和m，使得对于所有x属于I，都有m≤f(x)≤M，那么我们就称函数f(x)在区间I上有界。这里，M和m分别称为函数的上界和下界，而[M, m]则是函数的值域。 要注意的是，函数在某一点的左右极限存在且有限，并不意味着函数在该点附近有界。例如，函数f(x) = sin(1/x)在x=0处左右极限均为0，但在x接近0时，函数值会在-1和1之间无限振荡，因此它在x=0附近是无界的。 在描述一个函数有界时，我们需要明确指出函数定义的区间，因为一个函数在一个区间内可能有界，在另一个区间内可能无界。例如，函数g(x) = x在区间(-∞, 0]和[0, +∞)上分别有界，但在整个实数域R上则是无界的。 总结来说，描述一个函数有界，需要找到它的上界和下界，并明确指出这个界限成立的区间。这不仅能帮助我们更好地理解函数的性质，而且在解决实际问题时，如计算定积分或求解微分方程，确保函数的有界性往往是非常关键的。