在数学分析中，函数项级数的研究占有重要地位。对于给定的一族可微函数，我们如何证明它们的级数具有可微性呢？本文将对此进行探讨。 首先，我们需要明确什么是函数项级数。函数项级数是指将一系列函数按照一定的规则相加构成的序列。具体来说，如果有一系列可微函数{f_n(x)}，那么它们的级数可以表示为S_n(x) = Σ(f_n(x))，其中求和范围是n从0到无穷大。 要证明这样的级数在某一点的x处可微，我们需要以下几个条件： （1）级数的各项都必须在该点可微； （2）级数在该点的部分和序列应当收敛； （3）级数在该点的部分和序列的导数序列也应当收敛。 详细证明过程如下：

1. 首先，我们验证级数的各项f_n(x)在点x处是否可微。由于假设{f_n(x)}是可微函数族，这一条件自然满足。
2. 其次，我们考察级数S_n(x)在点x处的部分和序列是否收敛。根据级数的收敛性定义，如果部分和序列的极限存在且有限，则认为级数收敛。
3. 最后，我们证明部分和序列的导数序列也收敛。如果能够证明这一点，那么根据可微性的定义，级数S_n(x)在点x处即可微。 综上所述，证明函数项级数可微的关键在于验证其部分和序列及其导数序列的收敛性。一旦这些条件得到满足，我们就可以断言该级数在相应的点上是可微的。 需要注意的是，上述证明过程中，我们并没有要求级数的每一项都必须在定义域上处处可微，只要在点x处可微即可。这一点对于某些特殊的函数项级数来说，是非常重要的。 总结来说，通过对级数部分和及其导数的收敛性分析，我们可以有效地证明函数项级数在特定点的可微性。这一方法不仅加深了我们对函数项级数的理解，也为后续的数学分析提供了有力的工具。