在数学分析中，我们通常认为连续函数的导数也是连续的，但事实上，存在一些特殊的函数，它们在求导之后会变得不连续。本文将探讨这些函数的特点和原因。

总结而言，有两类函数在求导后会表现出不连续性：一是分段函数，二是函数在某些点处不可导。

首先，分段函数是由两个或多个函数在各自的定义域上拼接而成的。这类函数在某些点处，由于其定义的突变，导数会从一侧的值跳跃到另一侧的值，导致导数在这些点处不连续。一个典型的例子是绝对值函数 f(x) = |x|，在 x = 0 处，其导数从负无穷跳跃到正无穷，因此不连续。

其次，有些函数在某些点处不可导，即使在这些点之外导数存在且连续。最著名的例子是锯齿波函数，即单位阶跃函数。该函数在除了整数点之外的任何地方都是可导的，且导数为零，但在整数点处不可导，因为从左侧逼近和从右侧逼近的斜率是不同的。

详细来看，对于分段函数，其不连续性通常源于分段点处函数定义的突变。这种突变造成了导数的跳跃，从而使得导数在这些点处失去连续性。而对于那些在特定点不可导的函数，其不连续性往往是由函数在该点的局部性质决定的，如尖点或突变点。

最后，需要强调的是，虽然这些函数在求导后表现出不连续性，但它们在数学分析和应用中仍具有重要的作用。通过对这些函数的研究，我们不仅能够更好地理解导数的性质，还能够探索更广泛的数学现象和应用。

总结来说，分段函数和特定点处不可导的函数是导数不连续的两个典型例子。这些函数虽然特殊，但它们揭示了导数概念的复杂性和数学的深度。