线性方程组是数学中常见的问题，而行列式是解这类问题的一种重要工具。本文将介绍如何利用行列式求解线性方程组的方法。 首先，对于包含n个方程和n个未知数的线性方程组，若其系数矩阵的行列式不为零，则该线性方程组有唯一解。求解的步骤如下：

1. 构造系数矩阵：根据方程组中各方程的系数，构造出对应的系数矩阵A。
2. 计算行列式：计算系数矩阵A的行列式D。若D=0，则方程组无解或有无穷多解；若D≠0，则方程组有唯一解。
3. 构造伴随矩阵：将每个方程的常数项与其对应的系数矩阵中的列向量进行交换，得到新的矩阵，称为伴随矩阵。
4. 计算伴随矩阵的行列式：对伴随矩阵的每个元素进行求行列式操作，得到n个新的行列式。
5. 求解：将这n个新的行列式分别除以原始行列式D，得到的结果即为方程组的解。 举例来说，对于以下线性方程组： x + 2y - z = 4 2x - y + 3z = -6 -x + y + z = 7 我们可以按照以上步骤求解：
6. 构造系数矩阵A：[[1, 2, -1], [2, -1, 3], [-1, 1, 1]]
7. 计算行列式D：D = |A| = 1*(-11-31) - 2*(21-3(-1)) + (-1)(2(-1)-1*3) = 1
8. 构造伴随矩阵并计算行列式：得到三个新的行列式，分别为1, -8, 5。
9. 求解：将这三个行列式除以D，得到x=1, y=-8, z=5。 通过以上步骤，我们可以利用行列式求解线性方程组。需要注意的是，这种方法仅适用于系数行列式不为零的情况。 总结，行列式是求解线性方程组的一种有效工具，尤其适用于判断方程组的解的情况和求解具有唯一解的方程组。