在数学分析中，我们经常遇到一类特殊的函数，它们不仅在整个定义域内单调递增，而且还有界的特性。这类函数在理论研究与应用中具有重要地位。 具有有界且单调递增特性的函数，可以被直观理解为在其定义域内，函数值随自变量的增加而增加，但是增加的幅度受到限制，不会无限增大。换句话说，存在一个实数M，使得对于所有定义域内的x和y，当x小于y时，有f(x)小于或等于f(y)，同时对于所有的x，有f(x)小于或等于M。 一个典型的例子是数学中的“对数函数”。考虑函数f(x) = ln(x)，其定义域为(0, +∞)。这个函数是单调递增的，因为当x1小于x2时，ln(x1)小于ln(x2)。同时，由于对数函数在定义域内是无限逼近于0的，但是永远不会达到0，因此它是无界的。然而，如果我们限制其定义域，例如在(1, +∞)内，那么该函数在这个区间内是有界的，因为ln(x)的值不会超过ln(+∞)，我们可以用一个实数M来表示这个上界。 另一个例子是“反比例函数”的变体，例如f(x) = 1/(1+x)，其定义域为(-∞, -1) ∪ (-1, +∞)。这个函数在定义域的每个子区间内都是单调递增的，并且在定义域内是有界的，因为当x趋向于-1时，f(x)趋向于+∞，但是我们可以找到一个实数M，使得对于所有x不等于-1，f(x)的值都小于M。 总结来说，既有界又单调递增的函数在数学中是一类非常有用的函数，它们在理论和实际应用中都有广泛的应用。这类函数的例子包括限制定义域的对数函数和某些类型的反比例函数。