Gamma函数是数学中一个非常重要的特殊函数，它在数学分析、概率论以及统计学等领域中都有着广泛的应用。所谓的完全的Gamma函数，是指将Gamma函数的定义域扩展到复数域上的形式。本文将详细探讨完全的Gamma函数的概念及其性质。

首先，让我们简单回顾一下Gamma函数的基本定义。Gamma函数通常定义为实数域上的一个函数，记作Γ(x)，定义为Γ(x) = ∫(0,∞) t^(x-1) e^(-t) dt，其中x是一个正实数。但是，当我们将视角扩展到复数域时，就需要引入完全的Gamma函数。

完全的Gamma函数，记作Γ(z)，是将Gamma函数扩展到复数域上的结果。对于任意一个复数z（除了负整数和零），Γ(z)仍然可以通过上述积分形式定义。这种扩展使得Gamma函数在复平面上的性质更加丰富和完整，因此被称为“完全”的Gamma函数。

完全的Gamma函数具有以下几个重要性质：

1. 多值性：在复数域上，Γ(z)不再是单值函数，而是具有多个值。这是因为积分路径的选择可以导致不同的结果。
2. 挖洞：在复平面上的负整数点，Γ(z)是不定义的，因为积分在这些点不收敛。这些点被称为“挖洞”点。
3. 整数性质：对于任意正整数n，Γ(n) = (n-1)!，即n-1的阶乘，这保持了实数域上的Gamma函数的整数性质。
4. 稳定性：完全的Gamma函数在整个复平面上除了挖洞点之外都是解析的，表明其具有很好的稳定性。

总结来说，完全的Gamma函数是对实数域上Gamma函数的一种自然扩展，它将函数的定义域扩展到了复数域。这种扩展不仅丰富了Gamma函数的理论性质，也为数学的多个分支领域提供了更加深入和广泛的应用可能性。