行列式（Determinant，简称det）是线性代数中的一个基本概念，它是一个从方阵到实数的映射。行列式的主要作用是提供了一个判断矩阵是否可逆的准则，并且在解线性方程组中有着重要的应用。

简单来说，行列式是一个标量值，对于任意一个n阶方阵，它的行列式是一个数值。行列式的数学表达通常写作det(A)，其中A代表方阵。行列式的计算方式依赖于矩阵的阶数，对于2阶矩阵，行列式等于主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积。对于更高阶的矩阵，行列式的计算较为复杂，通常涉及递归地展开到更小的矩阵。

行列式具有几个重要的性质和定理。例如，交换矩阵的两行（或两列），行列式的值变号；行列式的值与矩阵的转置相等；若矩阵中有两行（或两列）成比例，则行列式的值为0。此外，行列式还能告诉我们矩阵是否可逆——如果一个矩阵的行列式不为0，则这个矩阵是可逆的。

在解线性方程组时，行列式扮演着关键角色。通过克莱姆法则（Cramer's Rule），我们可以利用方程组的系数矩阵及其行列式来找到方程组的解。此外，行列式还与矩阵的特征值密切相关，特征多项式的常数项就是矩阵行列式的相反数。

总结来说，行列式是线性代数中不可或缺的工具，它不仅反映了矩阵的某些基本性质，还在求解线性方程组、矩阵理论分析等方面有着广泛的应用。