在数学的世界里，函数是构建现代数学大厦的基石之一。函数的相等性并不仅仅取决于它们的形式，还涉及到函数的定义域、值域以及在其定义域内每一点的取值。 总结来说，两个函数相等，当且仅当它们在相同的定义域内，对于所有相同的输入值，都能得到相同的输出值。 具体而言，设有两个函数f(x)和g(x)，它们被认为是相等的，如果以下条件成立：

1. 它们具有相同的定义域D。
2. 对于D中的每一个x，都有f(x) = g(x)。 这意味着，即使两个函数的表达式看起来不同，只要它们在相同的定义域内给出相同的输出，它们仍然可以被认为是相等的。例如，函数f(x) = |x|和g(x) = x^2在x属于[0, +∞)时是相等的，因为在这个区间内，它们的图像是完全一样的。 然而，函数相等还有更深层次的含义。在高等数学中，我们会遇到所谓的“等价类”概念。这意味着，如果我们对函数进行某种形式的变换，如平移、伸缩或反射，只要变换前后函数的相等性保持不变，这些函数仍然属于同一个等价类。 最后，要强调的是，在讨论函数相等性时，我们不能忽视函数的连续性、可微性等性质。这些性质在某些情况下，对于判断函数是否相等至关重要。 综上所述，两个函数何时相等，取决于它们在定义域上的对应关系，以及它们是否满足相同的数学性质。这篇文章为我们提供了一个窗口，透过它我们可以窥见函数相等性的复杂性和深度。