在数学分析中，多项式函数是一种基础且重要的函数类型。一个有趣且具有深刻意义的问题是：任何非零多项式函数在实数域上至少存在一个实根。本文将探讨这一命题的证明方法。

首先，我们可以从著名的代数基本定理出发。代数基本定理指出，任意一个非零n次多项式方程在复数域内至少存在一个根。然而，我们的目标是证明在实数域上必然存在实根。

一种直观的证明方法是利用介值定理。考虑一个非零多项式函数P(x)，它的最高次项系数为a_n，最低次项系数为a_0。我们可以观察函数在x=0和x趋于无穷大时的符号。由于a_n不为零，当x趋于无穷大时，P(x)的符号将与a_n的符号相同。如果a_0也为非零，那么P(0)的符号将与a_0的符号相同。根据介值定理，由于函数在实数轴上连续，它必然在某个点c处取值为零，即P(c)=0，这就是函数的实根。

另一种更为严格的证明是使用罗尔定理。我们可以将多项式函数P(x)扩展到复数域，根据代数基本定理，它必然在复数域上有根。如果所有的根都是复数，那么由于实系数多项式的共轭根定理，复数根必然成对出现。但是，如果所有的根都位于复平面的上半平面或下半平面，那么原函数在实轴上的符号将不会改变，这与介值定理相矛盾。因此，至少有一个根是实数。

综上所述，无论是通过直观的介值定理还是更为严谨的罗尔定理，我们都可以证明非零多项式函数在实数域上至少存在一个实根。这一结论不仅在数学理论上有着重要的地位，而且在实际应用中也有着广泛的影响。