在数学分析中，研究函数图像的凹凸性与拐点是理解函数性质的重要部分。本文将总结如何求解函数的凹凸性及拐点。

首先，函数的凹凸性是指函数图像在不同区间内的弯曲方向。若在某点的邻域内，函数图像始终在切线之上，则该点称为函数的凹点；反之，若函数图像始终在切线之下，则该点称为函数的凸点。

求解函数凹凸性的基本步骤如下：

1. 求出函数的一阶导数，确定函数的临界点。
2. 求出函数的二阶导数，分析二阶导数的符号变化。
3. 若二阶导数在某个区间内为正，则函数在该区间内为凹；若二阶导数为负，则函数在该区间内为凸。

拐点是函数图像从凹变凸或由凸变凹的点，即二阶导数由正变负或由负变正的点。具体求解拐点的步骤如下：

1. 同样先求出一阶导数，确定可能的拐点位置。
2. 求出二阶导数。
3. 令二阶导数等于零，求出对应的x值，这些x值即为可能的拐点。
4. 对于每个可能的拐点，通过二阶导数的符号变化验证其是否为真正的拐点。

总结来说，掌握函数的凹凸性与拐点的求解方法，可以帮助我们更深入地理解函数的图像特征和变化趋势。在实际应用中，如经济学中的最优化问题、物理学中的运动轨迹分析等领域，这些概念都有着广泛的应用。

需要注意的是，并不是所有函数都有拐点，有些函数在整个定义域内可能是凹的或凸的。