在数学分析中，函数的极值点是研究函数性质的重要概念之一。极值点指的是函数在其定义域内某一点的局部最大值或最小值点。那么，函数何时会取得这些极值点呢？本文将深入探讨函数极值点的判定与求解方法。

首先，我们需要了解什么是函数的极值。在一个区间内，如果函数在某点的值大于或小于它附近点的值，那么这个点就被称作函数的局部极大值或局部极小值点。如果函数在该点的值是该区间内的最大值或最小值，那么这个点就是全局极大值或全局极小值点。

函数取得极值点的条件有以下几点：

1. 连续性：函数在极值点处必须是连续的。
2. 可导性：函数在极值点处必须是可以导的（除非是驻点）。
3. 驻点：一阶导数为零的点可能是极值点。也就是说，如果函数在某点的导数从正变负或从负变正，那么这个点可能是局部极值点。

判定极值点的方法：

1. 求导数：对函数进行求导，找出导数为零的点。
2. 二阶导数检验：对于导数为零的点，通过求解二阶导数来确定其性质。如果二阶导数大于零，则为局部极小点；如果二阶导数小于零，则为局部极大点；如果二阶导数等于零，则需进一步判断。
3. 端点检验：在区间边界上，函数也可能取得极值，因此需要检查端点处的函数值。

求解极值点的方法：

1. 代数方法：通过解方程 f'(x) = 0 来找到可能的极值点。
2. 数值方法：当函数过于复杂，无法直接求解时，可以使用数值方法（如牛顿法、梯度下降法等）来近似求解极值点。

在实际应用中，函数的极值点对于优化问题、物理现象模拟等领域具有重要意义。例如，在工程优化设计中，我们需要找到使得成本最低或效率最高的参数配置，这往往涉及到求解函数的极值点。

总结，函数取得极值点是在其导数为零且二阶导数符号变化的点。通过上述的判定和求解方法，我们可以有效地找到函数的极值点，为实际问题提供数学支持。