在数学分析中，有界函数是研究中的一个重要概念，它指的是那些在一个区间上能够被上下界所限制的函数。当我们面对这样的函数时，如何快速判断其大小呢？以下是一些实用的方法和技巧。

首先，我们需要明确有界函数的定义。一个函数f(x)在区间I上有界，意味着存在实数M和m，使得对于所有x属于I，都有m ≤ f(x) ≤ M。这里M是上界，m是下界。

以下是判断有界函数大小的一些步骤：

1. 确定定义域：首先明确函数的定义域，因为只有在定义域内，函数的值才是有意义的。

2. 寻找极值：检查函数在其定义域内是否有极值点。极值点是函数在该点的局部最大值或最小值。如果函数在定义域内连续且存在极值点，这些点可能是潜在的上下界。

3. 使用导数：如果函数可导，可以通过分析导数的符号来判断函数的增减性。如果导数在某区间内恒大于零，则函数在该区间内递增；若导数恒小于零，则函数递减。递增区间可能的上界和递减区间的下界。

4. 利用界函数的性质：有界函数具有一些特殊的性质，例如平均值不等式和柯西不等式。这些不等式可以帮助我们快速估算函数值的大小。

5. 数值逼近：当理论分析难以进行时，可以通过数值方法逼近函数的上下界。例如，使用计算机编程进行迭代计算，找到满足条件的M和m。

6. 利用图形工具：图形工具如几何画板、Desmos等，可以帮助我们直观地看到函数的图像，从而快速判断其有界性及可能的上下界。

通过以上方法，我们可以较为快速地判断有界函数的大小。在实际应用中，这些方法往往是相互结合和交叉验证的，以提高判断的准确性。

总结来说，判断有界函数的大小需要综合运用数学分析的理论知识和实际技巧。在实践中，不断练习和总结经验，能够让我们在面对不同类型的有界函数时，更加迅速和准确地作出判断。